Matrix/Diagonalgestalt/Elementarmatrizen/1/Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}$. Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulatonen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die erste Umformung ist, die zweite Zeile durch ${}II-{\frac {3}{4}}I$ zu ersetzen. Die geschieht durch

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-{\frac {3}{4}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\2&7\end{pmatrix}}\,.$

Die dritte Zeile soll durch ${}III-2I$ ersetzt werden, dies wird realisiert durch

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-{\frac {1}{2}}&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Die neue dritte Zeile kann man zu einer Nullzeile machen, indem man sie durch ${}III-{\frac {2}{13}}II$ ersetzt. Dies wird realisiert durch

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-{\frac {26}{17}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&0\end{pmatrix}}\,.$