Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix mit Einträgen in ${}K$. Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$-Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Einen Beweis erstellen