Matrix/Nilpotent/Voller Jordanblock/Basisvektoren/Beispiel

Ein Spezialfall zu Beispiel ist die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$

Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung ${}e_{n}$ auf ${}e_{n-1}$ abgebildet wird, ${}e_{n-1}$ auf ${}e_{n-2}$ und schließlich ${}e_{2}$ auf ${}e_{1}$, welches auf ${}0$ abgebildet wird. Die ${}(n-1)$-te Potenz der Matrix bildet ${}e_{n}$ auf ${}e_{1}$ ab und ist nicht die Nullmatrix, die ${}n$-te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.