Matrix/Nulltest mit Rang 1/Rechts/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M\neq 0\,$

angenommen. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in K^{n}$ mit

${}Mv=w\neq 0\,.$

Wir ergänzen ${}v$ zu einer Basis

$v=v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$

von ${}K^{n}$. Es sei ${}N$ die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch ${}v\mapsto v$ und ${}v_{i}\mapsto 0$ für ${}i\geq 2$ festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ${}N$ ist ${}1$, da ja das Bild gerade ${}Kv$ ist, und es ist

${}MNv=Mv=w\neq 0\,,$

also ist

${}MN\neq 0\,$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe