Matrix/Spaltenrang/Produkt/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Zeige, dass für den Rang die Beziehungen

$\operatorname {rang} \,AB\leq \operatorname {rang} \,A{\text{ und }}\operatorname {rang} \,AB\leq \operatorname {rang} \,B$

gelten. Zeige, dass links Gleichheit gilt, falls ${}B$ invertierbar ist, und rechts Gleichheit gilt, falls ${}A$ invertierbar ist. Man gebe ein Beispiel von nicht invertierbaren Matrizen ${}A$ und ${}B$ an derart, dass links und rechts Gleichheit gilt.

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