Matrizen/2x2/Dritteldrehung und Spiegelungen/Gruppe/Aufgabe/Lösung

a) Zur Abkürzung sei

${}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}M^{2}&=M\circ M\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}-{\frac {3}{4}}&{\frac {\sqrt {3}}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}&-{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

${}{\begin{aligned}M^{3}&=M\circ M^{2}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}&0\\0&{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&=E.\end{aligned}}$

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind ${}M$ und ${}M^{2}$ invers zueinander.

b) Wir setzen

${}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,,$

wobei

${}A^{2}=E\,$

ist. Ferner ist

${}AM={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

und

${}AM^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,,$

es geht also um die sechs Matrizen

$E,M,M^{2},A,AM,AM^{2},$

die wir alle einheitlich als

$A^{i}M^{j},\,i=0,1,\,j=0,1,2$

schreiben können. Ein Matrizenprodukt kann man somit als

$(A^{i}M^{j})(A^{r}M^{s})$

schreiben. Bei ${}j=0$ oder ${}r=0$ liegt direkt wieder ein Ausdruck der Form ${}A^{\ell }M^{k}$ vor, wobei man wegen ${}A^{2}=E$ und ${}M^{3}=E$ erreichen kann, dass ${}\ell \leq 1$ und ${}k\leq 2$ ist. Bei ${}r=1$ und ${}j=1,2$ kommt im Innern der Ausdruck ${}MA$ vor. Dieser ist

${}MA={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}=AM^{2}\,.$

Daher kann man die ${}M$ nach rechts bringen und erhält eine Darstellung wie zuvor. Die Matrizenmuliplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist wieder assoziativ und die Einheitsmatrix ist das neutrale Element. Das inverse Element zu ${}A^{i}M^{j}$ ist aufgrund des bisher Bewiesenen

$M^{3-j}A^{i}$

und dieses gehört zur Menge.

Zur gelösten Aufgabe