Matrizen/3/U nach T/Beschreibe mit Gleichungssystem/1/Aufgabe/Lösung

a) Wir beschreiben zuerst ${}T$ als Kern einer Linearform. Das lineare Gleichungssystem

${}7x+y+3z=0\,$

${}5x+4y+2z=0\,$

führt auf (${}-2I+3II$)

${}x+10y=0\,.$

Daher ist ${}\left(10,\,-1,\,-23\right)$ eine Lösung und ${}T$ ist der Kern der durch ${}\left(10,\,-1,\,-23\right)$ gegebenen Linearform auf ${}K^{3}$. Die Bedingung, dass eine ${}3\times 3$-Matrix ${}M$ den Untervektorraum ${}U$ nach ${}T$ abbildet, bedeutet also, dass

${}{\left(\left(10,\,-1,\,-23\right)\circ M\right)}u=0\,$

für ${}u\in U$ ist, was auf der gegebenen Basis von ${}U$ überprüft werden kann. Wenn man

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}}\,$

ansetzt, so müssen die beiden Bedingungen

${}\left(10,\,-1,\,-23\right){\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\4\\8\end{pmatrix}}=0\,$

und

${}\left(10,\,-1,\,-23\right){\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}=0\,$

erfüllt sein. Die erste Bedingung bedeutet

${}{\begin{aligned}0&=\left(10a-d-23g,\,10b-e-23h,\,10c-f-23k\right){\begin{pmatrix}3\\4\\8\end{pmatrix}}\\&=30a-3d-69g+40b-4e-92h+80c-8f-184k\end{aligned}}$

und die zweite Bedingung bedeutet

${}{\begin{aligned}0&=\left(10a-d-23g,\,10b-e-23h,\,10c-f-23k\right){\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\\&=20a-2d-46g+10b-e-23h-10c+f+23k.\end{aligned}}$

b) Wir eliminieren, indem wir, bezogen auf die beiden zuletzt formulierten Bedingungen, die Linearkombination 2I-3II berechnen. Dies ergibt

${}50b-5e-115h+190c-19f-437k=0\,,$

ein beschreibendes eliminiertes lineares Gleichungssystem ist also durch

${}30a-3d-69g+40b-4e-92h+80c-8f-184k=0\,$

und

${}50b-5e-115h+190c-19f-437k=0\,$

gegeben.

c) Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, besitzt der Lösungsraum die Dimension ${}7$.

Zur gelösten Aufgabe