Mechanisch definierte Kurven/Stangenkonfiguration/Kreis und tangentiale Gerade/Beispiel

Wir betrachten das mechanische Koppelungssystem, das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch ${}(0,1)$ mit dem Koppelungsabstand ${}d=2$ definiert ist, also durch den Geradenbahnpunkt und Kreisbahnpunkt

$P_{1}=(x_{1},1){\text{ und }}P_{2}=(x_{2},y_{2})$

mit den beiden Bedingungen

1. ${}x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1$
2. ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-1)^{2}=4$.

Es handelt sich also um den Schnitt von zwei Zylindern, allerdings mit unterschiedlichen Radien und auch mit Innenachsen, die sich nicht treffen. Interessant sind die beiden Geraden

${}G_{1}=V(x_{2},y_{2}+1)\,$

und

${}G_{2}=V(x_{2}-x_{1},y_{2}+1)\,,$

die sich im Punkt

${}P=(0,0,-1)\,$

schneiden. Die Gerade ${}G_{1}$ liegt auf dem einen Zylinder und schneidet den anderen Zylinder tangential, und umgekehrt. Das geometrische Bild ist, dass der kleinere Zylinder aus dem größeren eine „gebogene Acht“ herausstanzt, wobei ${}P$ der Kreuzungspunkt der Acht ist.

Die erlaubten Stangenkonfigurationen lassen sich folgendermaßen gewinnen. Zu jedem Kreispunkt gibt es zwei Möglichkeiten, wie die Stange liegen kann, mit der Ausnahme des Kreisbahnpunktes ${}(0,-1)$, wo der Geradenbahnpunkt ${}(0,1)$ sein muss.

Wir starten mit der Situation, wo der Punkt ${}(0,1)$ der Kreisbahnpunkt ist, und wo ${}(-2,1)$ der Geradenbahnpunkt ist (die Stange liegt also links auf der Geraden), und lassen den Kreisbahnpunkt im Uhrzeigersinn um den Kreis wandern. Der Kreisbahnpunkt zieht dann den Geradenbahnpunkt hinter sich her, bis er unten bei ${}(0,-1)$ angekommen ist. Die Stange ist dann der vertikale Durchmesser des Kreises (der Geradenbahnpunkt ist dann in ${}(0,1)$ und der Kreisbahnpunkt ganz unten). Ab dann wandert der Kreisbahnpunkt auf dem linken Kreisbogen nach oben und schiebt dabei die Stange weiter nach rechts, bis der Geradenbahnpunkt bei ${}(2,1)$ ankommt.

Die andere Möglichkeit, wo der Punkt ${}(0,1)$ der Kreisbahnpunkt ist, ist die, wo die Stange rechts auf der Geraden liegt (mit $(2,1)$ als Geradenbahnpunkt). Der Kreisbahnpunkt bewegt sich erneut im Uhrzeigersinn. Dabei schiebt er den Geradenbahnpunkt zuerst nach rechts bis zu einem gewissen Extremum, bei dem die Stange senkrecht zum Kreis im Kreisbahnpunkt steht. Von da an zieht der Kreisbahnpunkt den Geradenbahnpunkt zurück nach links, wobei sich die Stange aufrichtet, bis sie den vertikalen Durchmesser des Kreises einnimmt. Weiter wandert der Kreisbahnpunkt auf dem linken Kreisbogen wieder nach oben, wobei er den Geradenbahnpunkt bis zum Extremum nach links schiebt, und im letzten Stück wieder nach ${}(-2,1)$ zieht.

Insbesondere wird der vertikale Durchmesser des Kreises zweimal von der Stange eingenommen, diese Stangenkonfiguration entspricht also dem Kreuzungspunkt der Acht.

Wir wollen nun die Trajektorie zum Mittelpunkt der Stange berechnen, also zu

${}{\begin{aligned}P&=P_{1}+{\frac {1}{2}}(P_{2}-P_{1})\\&=(x_{1},1)+{\frac {1}{2}}(x_{2}-x_{1},y_{2}-1)\\&={\left({\frac {1}{2}}x_{1}+{\frac {1}{2}}x_{2},{\frac {1}{2}}y_{2}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=:(x,y).\end{aligned}}$

Wir interessieren uns für eine Gleichung für ${}x$ und ${}y$, und führen die Variable ${}z={\frac {1}{2}}x_{1}-{\frac {1}{2}}x_{2}$ ein. Dann ist

$x_{1}=x+z,\,x_{2}=x-z{\text{ und }}y_{2}=2y-1$

und das Gleichungssystem schreibt sich in den neuen Variablen als

$(x-z)^{2}+(2y-1)^{2}=1\,\,{\text{ und }}\,\,(-2z)^{2}+(2y-2)^{2}=4,$

wobei man letzteres als ${}z^{2}+(y-1)^{2}=1$ schreiben kann bzw. als ${}z^{2}+y^{2}-2y=0$. Die erste Gleichung ergibt ausgerechnet

${}z^{2}-2zx+x^{2}+4y^{2}-4y=0\,.$

Damit ergibt sich nach Fakt (mit ${}a_{1}=a_{2}=1$ und ${}b_{1}=0$) die Gleichung

${}{\begin{aligned}(c_{1}-c_{2})^{2}+c_{1}b_{2}^{2}&=(y^{2}-2y-x^{2}-4y^{2}+4y)^{2}+(y^{2}-2y)(2x)^{2}\\&=(-3y^{2}+2y-x^{2})^{2}+(y^{2}-2y)(2x)^{2}\\&=9y^{4}+x^{4}+4y^{2}-12y^{3}+6x^{2}y^{2}-4x^{2}y+4x^{2}y^{2}-8x^{2}y\\&=9y^{4}+10x^{2}y^{2}+x^{4}-12y^{3}-12x^{2}y+4y^{2}.\end{aligned}}$

Das ist eine Quartik (Kurve vom Grad vier) mit zwei Singularitäten.