Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung

Seien ${}B_{1}$ und ${}B_{2}$ zwei ebene algebraische Kurven, die durch die Gleichungen ${}F_{1}=0$ und ${}F_{2}=0$ beschrieben werden, ${}F_{1},F_{2}\in K[X,Y]$. Es sei ${}S$ eine „bewegliche Gerade“ (eine Stange) mit zwei Punkten ${}P_{1},P_{2}\in S$, ${}P_{1}\neq P_{2}$, die voneinander den Abstand ${}d$ haben. Das mechanische System, das durch alle Lagen von ${}S$ in der Ebene gegeben ist, bei denen gleichzeitig ${}P_{1}\in B_{1}$ und ${}P_{2}\in B_{2}$ ist, wird folgendermaßen beschrieben.

Eine Lage der Stange in der Ebene ist eindeutig bestimmt, wenn für die beiden Punkte die Lage festgelegt ist (dies berücksichtigt noch nicht die Abstandsbedingung), also durch vier Variablen ${}(P_{1},P_{2})=(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})$. Eine erlaubte Konfiguration muss dann die folgenden drei algebraischen Bedingungen erfüllen.

1. ${}F_{1}(x_{1},y_{1})=0$
2. ${}F_{2}(x_{2},y_{2})=0$
3. ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}$(Abstandsbedingung)

Es handelt sich somit um drei algebraische Gleichungen in vier Variablen, als Lösungsmenge erwartet man also eine Kurve im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$. Ein Punkt ${}P\in S$ wird durch den Abstand zu ${}P_{1}$ bzw. ${}P_{2}$ beschrieben. Da sich diese Punkte im mechanischen System bewegen, setzen wir die Koordinaten für den mitbewegten Punkt ${}P$ als

${}P=P_{1}+u(P_{2}-P_{1})\,$

an (der Abstand von ${}P$ zu ${}P_{1}$ ist also ${}\Vert {u(P_{2}-P_{1})}\Vert =\vert {ud}\vert$) und schreiben seine Koordinaten als

${}(x,y)=(x_{1},y_{1})+u(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=(ux_{2}+(1-u)x_{1},uy_{2}+(1-u)y_{1})\,$

Man kann dann das gesamte mechanische System (durch eine lineare Transformation) in den vier Variablen ${}x_{1},y_{1},x,y$ ausdrücken, indem man bei ($u\neq 0$)

$x_{2}={\frac {x-(1-u)x_{1}}{u}}{\text{ und }}y_{2}={\frac {y-(1-u)y_{1}}{u}}$

in den Gleichungen ersetzt. In den neuen Variablen erhält man die drei Gleichungen

1. ${}F_{1}(x_{1},y_{1})=0$,
2. ${}F_{2}{\left({\frac {x-(1-u)x_{1}}{u}},{\frac {y-(1-u)y_{1}}{u}}\right)}=0$,

3. ${}(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=u^{2}d^{2}\,.$

Die zu ${}P$ gehörende Trajektorie kann man grundsätzlich dadurch erhalten, dass man aus diesem Gleichungssystem die Variablen ${}x_{1}$ und ${}y_{1}$ „eliminiert“, was eine algebraische Gleichung für ${}x$ und ${}y$ ergibt. Dies ist allerdings leichter gesagt als getan, häufig ist es sinnvoller, durch geschickte Manipulationen das Gleichungssystem zu vereinfachen.