Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt

Taylor-Formel

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$ ist.

Dann gilt für alle ${}v$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ die Beziehung

${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

wobei

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0\,$

ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen