Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktion

$h\colon {]{-\delta },1+\delta [}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

(mit einem geeigneten ${}\delta >0$) ist nach Fakt ${}(k+1)$-mal differenzierbar. Aufgrund der Taylor-Formel für eine Variable gibt es ein ${}c\in [0,1]$

mit

${}h(1)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {h^{(j)}(0)}{j!}}+{\frac {h^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}\,.$

Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von Fakt aus und erhalten

${}{\begin{aligned}f(P+v)&=h(1)\\&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {h^{(j)}(0)}{j!}}+{\frac {h^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k+1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage