Menge/Potenzmenge/Endlich/Maximale Elemente/Aufgabe/Lösung

1. Da ${}G$ unendlich ist, gibt es darin insbesondere verschiedene Elemente ${}x_{n}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die endlichen Teilmengen

   ${}G_{n}:=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.$

   Diese gehören zu ${}M$ und es liegen die (echten) Inklusionen ${}G_{n}\subset G_{n+1}$ vor, d.h. diese Mengen bilden eine Kette. Eine obere Schranke für diese Mengen muss aber alle Elemente ${}x_{n}$ enthalten, also unendlich sein, und eine solche gibt es nicht in ${}M$.

2. Es gibt in ${}M$ keine maximalen Elemente. Ein Element ${}N\in M$ ist eine endliche Menge von ${}G$. Da ${}G$ unendlich ist, gibt es ein Element ${}x\in G$ mit ${}x\notin N$. Dann ist ${}N\cup \{x\}$ eine ebenfalls endliche Teilmenge von ${}G$ (gehört also zu ${}M$), die ${}N$ echt umfasst, sodass ${}N$ nicht maximal ist.

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