Mengen/Beschreibungsmöglichkeiten/Einführung/Variante 2/Textabschnitt

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt.

Neben endlichen Auflistungen gibt es auch noch solche Auflistungen, bei denen nach einer endlichen Auflistung eine unendliche Weiterführung durch Punkte (${}\ldots$) angedeutet wird. Damit ist gemeint, dass die ersten Elemente der Auflistung einen Bildungsprozess erkennen lassen, mit dem man alle weiteren Elemente bestimmen kann. Beispiele sind

$\{1,3,5,7,9,\ldots \},\,\{1,2,4,8,16,\ldots \},\,\{9,99,999,9999,99999,\ldots \}$

und ähnliche. Dies ist grundsätzlich problematisch, da es für jede endliche Liste ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ von ${}n$ Zahlen ein Polynom

$P(k)=c_{0}+c_{1}k+c_{2}k^{2}+c_{3}k^{3}+\cdots +c_{d}k^{d}$

vom Grad ${}d\leq n$ gibt mit

$P(1)=a_{1},\,P(2)=a_{2},\ldots ,P(n)=a_{n}.$

Es gibt also stets ein mehr oder weniger einfaches polynomiales Bildungsgesetz, das aber oben nur im linken Beispiel die vermutlich gemeinte Vorschrift ist.

Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen

$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}.$

Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wir werden diese Menge erstmal so akzeptieren und später noch eine Axiomatik dafür angeben. Wichtig ist aber, dass mit ${}\mathbb {N}$ nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche.

Mengenbeschreibung durch Eigenschaften

Es sei eine Menge ${}M$ gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften ${}E$ (Prädikate) erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft ${}E$ gehört innerhalb von ${}M$ die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus ${}M$, die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als

${\left\{x\in M\mid E(x)\right\}}={\left\{x\in M\mid x{\text{ besitzt die Eigenschaft }}E\right\}}.$

Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage ${}E(x)$ eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen (in dem auf die Eigenschaft ${}E$ Bezug genommen werden kann, aber nicht muss). Z.B. kann man einführen

$G={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist gerade}}\right\}},$

$U={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist ungerade}}\right\}},$

$Q={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist eine Quadratzahl}}\right\}},$

$\mathbb {P} ={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist eine Primzahl}}\right\}}.$

Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge ${}K$ der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa

$O={\left\{x\in K\mid x{\text{ kommt aus Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}\right\}},$

$P={\left\{x\in K\mid x{\text{ studiert im Nebenfach Physik}}\right\}},$

$D={\left\{x\in K\mid x{\text{ hat im Dezember Geburtstag}}\right\}}.$

Die Menge ${}K$ ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja

$K={\left\{x\mid x{\text{ ist Studierender in diesem Kurs}}\right\}}.$