Mengen/Diagramm/Limes/Definition

Limes (Mengen)

Es sei ${}(I,\succcurlyeq )$ eine geordnete Menge und es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein Diagramm in der Kategorie der Mengen, d.h. zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben und zu jedem Paar ${}i\succcurlyeq j$ sei eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$ gegeben, wobei ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$ zu ${}i\succcurlyeq j\succcurlyeq k$ gelte. Eine Menge ${}M$ zusammen mit Abbildungen ${}p_{i}\colon M\rightarrow M_{i}$ heißt Limes (oder projektiver Limes) der ${}M_{i}$, wenn ${}p_{j}=\varphi _{ij}\circ p_{i}$ gilt und wenn es zu jeder anderen Menge ${}(N,q_{i})$ mit dieser Eigenschaft eine eindeutige Abbildung ${}\psi \colon N\rightarrow M$ mit ${}p_{i}\circ \psi =q_{i}$ gibt. Er wird mit ${}\varprojlim _{i\in I}M_{i}$ bezeichnet.