Mengenausschöpfung/Subgraphen der Indikatorfunktionen/Aufgabe/Lösung

Der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$ ist

${}{\begin{aligned}A_{n}&={\left\{(x,t)\mid x\in M,\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq 1\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq 0\right\}}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup (X\setminus T_{n})\times \{0\}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup X\times \{0\}.\end{aligned}}$

Wegen ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ ist somit auch ${}A_{n}\subseteq A_{n+1}$. Offenbar ist ${}A_{n}\subseteq M\times [0,1]$. Für ein beliebiges ${}(x,t)\in M\times [0,1]$ gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}x\in T_{n}$. Für dieses ${}n$ ist auch ${}(x,t)\in A_{n}$, so dass ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=M\times [0,1]$ gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.

Zur gelösten Aufgabe