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Mengenausschöpfung/Subgraphen der Indikatorfunktionen/Aufgabe/Lösung
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Mengenausschöpfung/Subgraphen der Indikatorfunktionen/Aufgabe
Der Subgraph zur Indikatorfunktion
e
T
n
{\displaystyle {}e_{T_{n}}}
ist
A
n
=
{
(
x
,
t
)
∣
x
∈
M
,
0
≤
t
≤
e
T
n
(
x
)
}
=
{
(
x
,
t
)
∣
x
∈
T
n
,
0
≤
t
≤
e
T
n
(
x
)
}
∪
{
(
x
,
t
)
∣
x
∈
M
∖
T
n
,
0
≤
t
≤
e
T
n
(
x
)
}
=
{
(
x
,
t
)
∣
x
∈
T
n
,
0
≤
t
≤
1
}
∪
{
(
x
,
t
)
∣
x
∈
M
∖
T
n
,
0
≤
t
≤
0
}
=
T
n
×
[
0
,
1
]
∪
(
X
∖
T
n
)
×
{
0
}
=
T
n
×
[
0
,
1
]
∪
X
×
{
0
}
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}A_{n}&={\left\{(x,t)\mid x\in M,\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq 1\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq 0\right\}}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup (X\setminus T_{n})\times \{0\}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup X\times \{0\}.\end{aligned}}}
Wegen
T
n
⊆
T
n
+
1
{\displaystyle {}T_{n}\subseteq T_{n+1}}
ist somit auch
A
n
⊆
A
n
+
1
{\displaystyle {}A_{n}\subseteq A_{n+1}}
. Offenbar ist
A
n
⊆
M
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle {}A_{n}\subseteq M\times [0,1]}
. Für ein beliebiges
(
x
,
t
)
∈
M
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle {}(x,t)\in M\times [0,1]}
gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
mit
x
∈
T
n
{\displaystyle {}x\in T_{n}}
. Für dieses
n
{\displaystyle {}n}
ist auch
(
x
,
t
)
∈
A
n
{\displaystyle {}(x,t)\in A_{n}}
, sodass
⋃
n
∈
N
A
n
=
M
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle {}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=M\times [0,1]}
gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.
Zur gelösten Aufgabe