Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$-Algebra. Wegen

${}S\cap T=M\setminus (M\setminus S\cup M\setminus T)\,$

ist diese duchschnittsstabil und es gilt für ${}S\subseteq T$ auch

${}T\setminus S=T\cap (M\setminus S)\,,$

daher liegt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor.

Es liege nun umgekehrt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor. Die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung gilt direkt. Es sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine abzählbare Familie von Mengen aus ${}{\mathcal {A}}$, von der wir direkt annehmen können, dass sie durch die positiven natürlichen Zahlen indiziert ist. Wir schreiben

${}S_{n}=T_{n}\cap (M\setminus T_{1})\cap (M\setminus T_{2})\cap \ldots \cap (M\setminus T_{n-1})\,.$

Diese gehören zu ${}{\mathcal {A}}$ und es gilt

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}T_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}S_{n}\,,$

wobei die zweite Vereinigung disjunkt ist und daher zum System gehört.

Zur bewiesenen Aussage