Mengentheorie/Endlich viele Mengen/Mögliche Durchschnitte/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und seien

$T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n}\subseteq M$

Teilmengen (${}n\geq 1$). Wir betrachten die Menge ${}{\mathcal {A}}$, die aus allen Teilmengen von ${}M$ besteht, die man als Durchschnitte der Form

$S_{1}\cap \ldots \cap S_{k}$

erhalten kann, wobei die Menge ${}S_{i}$ jeweils ein ${}T_{j}$ oder ein ${}M\setminus T_{j}$ ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von ${}M$ erhalten kann.

b) Zeige, dass es in ${}{\mathcal {A}}$ eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{m}$ mit

${}M=\biguplus _{\ell =1}^{m}A_{\ell }\,$

und mit der Eigenschaft, dass jedes ${}A\in {\mathcal {A}}$, ${}A\neq \emptyset$, ein ${}A_{\ell }$ umfasst gibt.

c) Zeige, dass man jede Menge ${}T_{j}$ als

${}T_{j}=\biguplus _{\ell \in L_{j}}^{m}A_{\ell }\,$

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge ${}L_{j}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ darstellen kann.

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