Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Beispiel

Es sei ${}S$ die Menge der Städte und ${}A$ die Menge der Autobahnen. Dann ist die Beziehung „liegt an“ eine Relation ${}L$ zwischen ${}S$ und ${}A$. Zwischen einer Stadt ${}s\in S$ und einer Autobahn ${}a\in A$ bedeutet

$sLa{\text{ oder }}L(s,a)$

einfach, dass die konkrete Stadt ${}s$ an der Autobahn ${}a$ liegt. Zu ${}s$ ist dann die Menge

${}A_{s}={\left\{a\in A\mid L(s,a)\right\}}\,$

die Menge der Autobahnen, an denen ${}s$ liegt, und zu ${}a\in A$ ist

${}S_{a}={\left\{s\in S\mid L(s,a)\right\}}\,$

die Teilmenge der Städte, an denen die Autobahn ${}a$ vorbeifährt. Für ${}s={\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}$ ergibt sich also

${}A_{{\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}}=\{A1,A30,A33\}\,$

und für die ${}A1$ ergibt sich

${}S_{A1}=\{\ldots ,{\text{Hamburg}},{\text{Bremen}},{\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}},\ldots \}\,.$

Diese Relation wird vollständig beschrieben, wenn man zu jeder Stadt die daran vorbeiführenden Autobahnen oder aber wenn man zu jeder Autobahn die daran liegenden Städte aufführt. Genauso gut kann man die Relation durch eine Tabelle ausdrücken mit einer Leitzeile für die Autobahnen und einer Leitspalte für die Städte, und wo im Kreuzungspunkt ${}(s,a)$ ein Kreuz gemacht wird genau dann, wenn ${}L(s,a)$ gilt. Die Aussage

$\forall s(\exists aL(s,a))$

bedeutet, dass jede Stadt an einer Autobahn liegt (wohl falsch) und die Aussage

$\forall a(\exists sL(s,a))$

bedeutet, dass jede Autobahn an mindestens einer Stadt vorbeiführt (wohl wahr).