Messbare Funktionenfolge/Limes inferior superior/Messbar/Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktionen

$\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},$

und

$\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},$

messbar sind.

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