Messraum/Messbare Funktionenfolge/a ist Häufungspunkt/Messbar/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ besitzt genau dann ${}a$ als einen Häufungspunkt, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder in ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ gibt. Dies ist äquivalent dazu, dass es zu jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n\geq m$ gibt mit

$f_{n}(x)\in [a-{\frac {1}{k}},a+{\frac {1}{k}}].$

Wir definieren

$M_{k,n}={\left\{x\in X\mid \vert {f_{n}(x)-a}\vert \leq {\frac {1}{k}}\right\}}.$

Mit dieser Bezeichnung ist

$M=\bigcap _{k}(\bigcap _{m}(\bigcup _{n\geq m}M_{k,n})).$

Die Menge ${}M_{k,n}$ ist das Urbild des abgeschlossenen Intervalls ${}[a-{\frac {1}{k}},a+{\frac {1}{k}}]$ unter der messbaren Abbildung ${}f_{n}$, also messbar. Daher ist für jedes ${}m\in \mathbb {N}$ die abzählbare Vereinigung ${}\bigcup _{n\geq m}M_{k,n}$ messbar. Somit sind auch die abzählbaren Durchschnitte ${}\bigcap _{m}(\bigcup _{n\geq m}M_{k,n})$ und ${}M=\bigcap _{k}(\bigcap _{m}(\bigcup _{n\geq m}M_{k,n}))$

messbare Teilmengen.

Zur gelösten Aufgabe