Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe/Lösung

1. Wenn er den langen Stab ${}16$-mal hintereinander hinlegt, erreicht er ${}10$ Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts ${}21$-mal hinlegt, erhält er ${}9$ Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
2. Die beiden Stäbe haben die Länge ${}{\frac {3}{7}}$ bzw. ${}{\frac {5}{8}}$. Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich

   $m{\frac {3}{7}}+n{\frac {5}{8}}{\text{ mit }}m,n\in \mathbb {Z} .$

   Wir arbeiten mit dem Hauptnenner ${}56$ und schreiben dies als

   $m{\frac {24}{56}}+n{\frac {35}{56}}={\left(24m+35n\right)}{\frac {1}{56}}{\text{ mit }}m,n\in \mathbb {Z} .$

   Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von ${}{\frac {1}{56}}$ legen kann. Da ${}24=3\cdot 8$ und ${}35=5\cdot 7$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen ${}m,n$ mit

   ${}24m+35n=1\,.$

   Er kann also in der Tat die Strecke ${}{\frac {1}{56}}$ hinlegen.

3. Da er den Prozess, mit dem er ${}{\frac {1}{56}}$ hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von ${}{\frac {1}{56}}$ abmessen.

Zur gelösten Aufgabe