Wir arbeiten auf dem R {\displaystyle {}\mathbb {R} } -Vektorraum V = C ( R , R ) {\displaystyle {}V=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} der stetigen Funktionen f : R → R {\displaystyle {}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } . Für i ∈ N {\displaystyle {}i\in \mathbb {N} } und f ∈ V {\displaystyle {}f\in V} sei ‖ f ‖ i := max { | f ( x ) | ∣ x ∈ [ − i , i ] } {\displaystyle {}\Vert {f}\Vert _{i}\,:=\operatorname {max} {\left\{\vert {f(x)}\vert \mid x\in [-i,i]\right\}}} . Zeige, dass
eine Metrik auf dem Raum V {\displaystyle {}V} definiert. Zeige weiter, dass keine Norm ‖ − ‖ : V → R + {\displaystyle {}\Vert {-}\Vert :V\rightarrow \mathbb {R} _{+}} existiert mit ‖ f − g ‖ = d ( f , g ) {\displaystyle {}\Vert {f-g}\Vert =d(f,g)} .
-Vektorraum 
der stetigen Funktionen 
. Für 
und 
sei ![{\displaystyle {}\Vert {f}\Vert _{i}\,:=\operatorname {max} {\left\{\vert {f(x)}\vert \mid x\in [-i,i]\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c570d3cafd2f2c0efa0b85c6ad45244b4a60b8)
. Zeige, dass
definiert. Zeige weiter, dass keine Norm 
existiert mit
.
