Metrische Räume/Abzählbar/Produktmetrik/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können davon ausgehen, dass sämtliche Metriken auf durch beschränkt sind. Wir betrachten auf dem Produkt die Metrik . Diese Summe ist wegen der Konvergenz der geometrischen Reihe wohldefiniert. Die Eigenschaften Symmetrie, Definitheit und Dreiecksabschätzung sind klar.

Es sei eine offene Menge des Produktraumes. Dann ist eine Vereinigung von Mengen der Form mit offen und bis auf endlich viele Ausnahmen. Es ist zu zeigen, dass eine solche Menge auch offen in der metrischen Topologie ist. Sei dazu . Es sei für und seien derart, dass für gilt. Wir setzen

Dann ist . Zu folgt aus

direkt

und daher

Es sei nun umgekehrt ein offener Ball in der Produktmenge gegeben. Es genügt zu zeigen, dass in einer Basisproduktmenge innerhalb von liegt. Es sei derart, dass

ist. Wir wählen positive mit

Dann ist

Für einen Punkt

der links enthalten ist, ist ja