Minimalpolynom/2+5i/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}(2+5{\mathrm {i} })^{2}=4-25+20{\mathrm {i} }=-21+20{\mathrm {i} }\,.

Dies ist eine ${}\mathbb {Q}$ -Linearkombination von ${}1$ und ${}2+5{\mathrm {i} }$ , nämlich

{}-21+20{\mathrm {i} }=-29\cdot 1+4(2+5{\mathrm {i} })\,.

Daher ist

Z^{2}-4Z+29

ein annullierendes Polynom von

{}2+5{\mathrm {i} }

. Wegen

{}2+5{\mathrm {i} }\not \in \mathbb {Q}

kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.