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Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Überprüfe/Aufgabe/Lösung
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Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Überprüfe/Aufgabe
Es ist
X
2
=
(
3
+
7
)
2
=
3
2
+
7
2
+
2
3
⋅
7
=
3
+
7
+
2
21
=
10
+
2
21
{\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{2}&={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}\\&={\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {7}}^{2}+2{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {7}}\\&=3+7+2{\sqrt {21}}\\&=10+2{\sqrt {21}}\end{aligned}}}
und
X
4
=
(
X
2
)
2
=
(
10
+
2
21
)
2
=
100
+
4
⋅
21
+
40
21
=
184
+
40
21
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{4}&={\left(X^{2}\right)}^{2}\\&={\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}^{2}\\&=100+4\cdot 21+40{\sqrt {21}}\\&=184+40{\sqrt {21}}.\end{aligned}}}
Somit ist
X
4
−
20
X
2
+
16
=
184
+
40
21
−
20
(
10
+
2
21
)
+
16
=
184
−
200
+
16
+
(
40
−
20
⋅
2
)
21
=
0.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{4}-20X^{2}+16&=184+40{\sqrt {21}}-20{\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}+16\\&=184-200+16+{\left(40-20\cdot 2\right)}{\sqrt {21}}\\&=0.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
