Minkowski-Raum/Bewegungsvorgang/Realisierung durch Skalierung/Beispiel

In einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum soll etwas vom Punkt ${}P={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\r\end{pmatrix}}$ zum Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\s\end{pmatrix}}$ gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor

${}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\s\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\r\end{pmatrix}}\,$

zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn ${}y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}-t^{2}$ negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor

${}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\\u\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {-\left\langle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}\right\rangle }}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}\,$

umskalieren. Es beschreibt dann

$x\longmapsto {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\r\end{pmatrix}}+x{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\\u\end{pmatrix}}$

ein Bewegungsvorgang, der für ${}x=0$ im Punkt ${}P$ startet und für ${}x={\sqrt {-\left\langle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}\right\rangle }}$ im Punkt ${}Q$ endet und der physikalisch durchführbar ist.