Minkowski-Raum/Gleichzeitigkeit/Bemerkung

Zwei Ereignisse ${}A$ und ${}B$ in einem zweidimensionalen Minkowskiraum, die für den Beobachter, dessen Raumachse mit ${}x$ und dessen Zeitachse mit ${}ct$ bezeichnet ist, gleichzeitig sind, aber nicht für den zweiten Beobachter mit den Achsen ${}x'$ und ${}ct'$.

Zu einer Vierergeschwindigkeit ${}v$ eines Beobachters ${}B$ mit der Zerlegung

${}V=V_{v}\oplus \mathbb {R} v\,$

nennt man die Punkte der Form ${}sv+V_{v}$ mit einem fixierten ${}s\in \mathbb {R}$ den Raum zum Zeitpunkt ${}s$. Die Punkte daraus heißen gleichzeitig für den Beobachter ${}B$. Für einen anderen Beobachter ${}C$ mit der Vierergeschwindigkeit ${}w$ sind diese Punkte nicht gleichzeitig. Sein Gleichzeitigkeitskonzept beruht auf seine, von ${}w$ abhängige Zerlegung der Welt ${}V$ in seine Raum- und Zeitkomponente. Wenn beispielsweise die zweite Vierergeschwindigkeit bezüglich einer Minkowski-Basis des ersten Beobachters durch ${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\0\\0\\{\frac {5}{4}}\end{pmatrix}}$ gegeben ist, so ist

${\frac {15}{4}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$

eine Orthonormalbasis der Raumkomponente des zweiten Beobachters. Die für den ersten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ sind für den zweiten Beobachter nicht gleichzeitig, da der erste Vektor die gleiche Beschreibung besitzt und der zweite Vektor gleich

${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\frac {75}{16}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}-{\frac {3}{4}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\0\\0\\{\frac {5}{4}}\end{pmatrix}}\,$

ist. Seine Zeitkomponente bezüglich des zweiten Beobachtervektors ist also ${}-{\frac {3}{4}}$.