Minoren/2x2/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K^{6}\longrightarrow K^{3},\,(x,y,z,u,v,w)\longmapsto (xv-yu,yw-zv,xw-zu),$

wobei man die Koeffizientenfunktionen als die ${}2\times 2$-Minoren der Matrix

${\begin{pmatrix}x&y&z\\u&v&w\end{pmatrix}}$

interpretieren sollte. Die Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}v&-u&0&-y&x&0\\0&w&-v&0&-z&y\\w&0&-u&-z&0&x\end{pmatrix}}.$

Im Nullpunkt liegt die Nullmatrix vor und somit liegt dort jedenfalls eine Singularität vor. Sei ${}P\in K^{6}$ ein Punkt mit ${}x\neq 0$. Dann zeigt die Untermatrix aus der ersten und dritten Zeile und der vorletzten und letzten Spalte, dass der Rang zumindest ${}2$ ist. Wenn ${}P$ nicht zum Nullstellenmenge ${}V=\varphi ^{-1}(0)$ gehört, so ist beispielsweise

${}uv-yu\neq 0\,.$

Doch dann ist auch die Determinante der Untermatrix bestehend aus der ${}3.,5.$ und ${}6.$ Spalte nicht ${}0$ und es liegt Rang ${}3$ vor. Dies gilt in allen Punkten außerhalb des Nullstellengebildes, d.h. nach dem Satz über implizite Abbildungen sind die anderen Fasern glatt und haben die Dimension ${}3$. In einem Punkt der Nullfaser, der nicht der Nullpunkt ist, ist der Rang der Jacobi-Matrix genau ${}2$. Beispielsweise ist die Determinante der eben erwähnten Untermatrix gleich ${}x(vx-uy)$, und da steckt eine definierende Gleichung als Faktor drin.

Welche Dimension besitzt die Nullfaser, also die Nullstellenmenge

${}V=\varphi ^{-1}(0)=V(XV-YU,YW-ZW,XW-ZU)\,,$

und ist sie außerhalb des Nullpunktes glatt? Diese Nullstellenmenge umfasst unmittelbar die Nullstellenmengen ${}V(X,Y,Z)$ und ${}V(U,V,W)$, was beides zwei affine Räume sind. Daher liegt zumindest die Dimension ${}3$ vor. Da die anderen Fasern dreidimensional sind und da das Nullstellengebilde durch drei Funktionen beschrieben wird, könnte man ebenfalls Dimension ${}3$ erwarten (drei algebraische Bedingungen für sechs Variablen). Es liegen aber zwischen den drei definierenden Gleichungen die Beziehungen

${}Y(XW-ZU)=Z(XV-YU)+X(YW-ZV)\,$

und

${}V(XW-ZU)=W(XV-YU)+U(YW-ZV)\,$

vor, sie sind also nicht „unabhängig“. Als Zwischenschritt betrachten wir das Nullstellengebilde, das von den ersten beiden Gleichungen definiert wird, also

$V(XV-YU,YW-ZV).$

Für einen Punkt

${}P\in V(XV-YU,YW-ZV)\,$

muss wegen den oben formulierten Beziehungen auch

${}P\in V(Y(XW-ZU),V(XW-ZU))\,$

gelten. Bei ${}P\notin V(XW-ZU)$ muss somit

${}P\in V(Y,V)\,$

gelten. Daher gilt

$V(XV-YU,YW-ZV)=V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\cap V(Y,V)\,.$

Die Jacobi-Matrix zur Abbildung

$K^{6}\longrightarrow K^{2},\,(x,y,z,u,v,w)\longmapsto (xv-yu,yw-zv),$

ist

${\begin{pmatrix}v&-u&0&-y&x&0\\0&w&-v&0&-z&y\end{pmatrix}},$

woran man direkt ablesen kann, dass für Punkte außerhalb von ${}V(Y,V)$ der Rang gleich ${}2$ ist und damit wieder nach dem Satz über implizite Abbildungen ein glatter Punkt vorliegt und diese Nullstellenmenge vierdimensional ist. Daraus folgt, dass die ursprüngliche Nullstellenmenge eine offene Teilmenge, nämlich

${}D(Y,V)=K^{6}\setminus V(Y,V)\,$

(eingeschränkt auf diese Menge) enthält, auf der die Menge die Dimension ${}4$ besitzt. Wegen der Symmetrie der Situation liegt dies in jedem Punkt außer eventuell dem Nullpunkt vor (ein Extremfall könnte sein, dass der Nullpunkt ein isolierter Punkt der Nullstellenmenge ist, der mit dieser gar nichts zu tun hat). Man kann aber zeigen, dass das Ideal

${}(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K[X,Y,Z,U,V,W]\,$

ein Primideal ist, siehe Aufgabe.