Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}M={\frac {1}{2}}(A+B)\,$

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ${}u$ ein zu ${}{\overrightarrow {AB}}$ senkrechter Vektor, so dass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich ${}M+su$ mit ${}s\in \mathbb {R}$ sind.

Es sei zunächst ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

${}P=M+su\,$

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${}d(P,A)^{2}=\Vert {P-A}\Vert ^{2}=\Vert {su-{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}=\Vert {su}\Vert ^{2}+\Vert {{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}\,.$

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für ${}d(P,B)^{2}$.

Es sei nun ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt, der zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von ${}P$ zur Geraden durch ${}A$ und ${}B$ werde im Punkt ${}Q$ angenommen. Dann steht die Gerade durch ${}P$ und ${}Q$ senkrecht auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt

${}d(P,A)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,A)^{2}\,$

und entsprechend

${}d(P,B)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,B)^{2}\,.$

Nach Voraussetzung ist also

${}d(Q,A)=d(Q,B)\,$

und somit ist

${}Q=M\,$

der Mittelpunkt der Strecke von ${}A$ nach ${}B$. Also liegt ${}P$ auf der Mittelsenkrechten.

Zur bewiesenen Aussage