Zu einer
Riemann-integrierbaren
Funktion
![{\displaystyle {}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b2774f3530b8b9e513afa18a7fe6273a6e71f1)
kann man
-
als die Durchschnittshöhe der Funktion ansehen, da dieser Wert mit der Länge 
des Grundintervalls multipliziert den Flächeninhalt unterhalb des Graphen zu 
ergibt. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass für eine stetige Funktion dieser Durchschnittswert
(oder Mittelwert)
von der Funktion auch angenommen wird.
Es sei ![{\displaystyle {}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5a6e660b5cdc1a9c76f6e6b0d486328c3f6937)
ein
kompaktes Intervall
und sei
-
![{\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bda17a8ca7ea71906b37514dd0342131a206a98)
eine
stetige Funktion.
Dann gibt es ein
![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
mit
-
Über dem
kompakten Intervall
ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien
und 
das
Minimum
bzw. das
Maximum
der Funktion, die aufgrund von
Fakt
angenommen werden. Dann ist insbesondere
für alle
![{\displaystyle {}x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda0a4b129005203d4c9b056c7aa53a1bbbe2840)
und
-
Daher ist
mit einem
![{\displaystyle {}d\in [m,M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97516d73669f6a2b13d597275a309e97d6dadbfb)
und aufgrund des
Zwischenwertsatzes
gibt es ein
mit
.
