Modallogik/Gerichteter Graph/Belegung/1/Beispiel

Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen ${}p,q,r$. Im Weltpunkt ${}a$ gelte

$a\vDash p,q,\neg r$

und im Weltpunkt ${}b$ gelte

$b\vDash p,\neg q,r.$

Daraus kann man die Gültigkeit von aussagenlogischen Ausdrücken jeweils erschließen, beispielsweise gilt

$a\vDash p\wedge \neg r$

oder

$b\vDash \neg q\rightarrow r.$

Für modallogische Ausdrücke muss man den gerichteten Graphen berücksichtigen, wobei man induktiv über die Anzahl der Boxen vorgeht. Es geht also zunächst um Ausdrücke der Form ${}\Box \alpha$, wobei ${}\alpha$ ein rein aussagenlogischer Ausdruck ist (also ohne jede Box). Die Gültigkeit von ${}\Box \alpha$ in einem Weltpunkt bedeutet, dass in jedem von diesem Weltpunkt aus erreichbaren Weltpunkt ${}\alpha$ gilt. Somit gilt beispielsweise

$a\vDash \Box p$

und

$a\vDash \neg \Box q$

und

$a\vDash \Box (q\vee r),$

ferner

$b\vDash \Box p$

und

$b\vDash \Box \neg q.$

Damit kann man dann in jedem Punkt aussagenlogisch den Wahrheitswert von jeder modallogischen Aussage bestimmen, in der die Box nur einfach (also ohne Verschachtelungen) auftritt, beispielsweise

$a\vDash \Box p\wedge \neg r\wedge \neg \Box \neg r.$

Unter Berücksichtigung des gerichteten Graphen kann man dann auch den Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck mit modallogischer Verschachtelungstiefe ${}\leq 2$ bestimmen, also etwa

$a\vDash \Box \Box p,$

u.s.w.