Modallogik/Rahmen/Euklidisch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ euklidisch und sei

$w\vDash \Diamond \alpha .$

Somit gibt es eine Welt ${}v$ mit ${}wRv$ und mit

$v\vDash \alpha .$

Es sei ${}z$ eine Welt mit ${}wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch ${}zRv$, daher ist

$z\vDash \Diamond \alpha .$

Somit ist

$w\vDash \Box \Diamond \alpha .$

Es sei nun ${}R$ nicht euklidisch und seien ${}w,v,z\in M$ Punkte mit ${}wRv$, ${}wRz$, aber nicht ${}vRz$. Es sei ${}p$ eine Aussagenvariable und sei ${}\mu$ die Belegung, bei der ${}\neg p$ in allen von ${}v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$z\vDash p$

und somit

$w\vDash \Diamond p.$

In ${}v$ gilt hingegen ${}\Box \neg p$, also

$v\vDash \neg \Diamond p.$

Somit gilt

$w\vDash \neg \Box \Diamond p$

und damit

$w\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.$

Zur bewiesenen Aussage