Modallogik/Rahmen/Löb/Stationäre Ketten/Fakt/Beweis

Beweis

Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit

$\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$

Es sei zunächst vorausgesetzt, dass ${}(M,R)$ die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei ${}w\in W$ und

$w\vDash \Diamond \alpha .$

Dann gibt es eine Welt ${}v\in M$ mit ${}wRv$ und mit

$v\vDash \alpha .$

Wir betrachten Ketten ${}vRv_{2},v_{2}Rv_{3},\ldots$ mit ${}v_{i}\vDash \alpha$. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in ${}v_{n}$. In ${}v_{n}$ gilt dann

$v_{n}\vDash \alpha \wedge \neg \Diamond \alpha .$

Wegen der Transitivität ist ${}v_{n}$ von ${}w$ aus erreichbar und somit ist

$w\vDash \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$

Es sei nun vorausgesetzt, dass ${}(M,R)$ nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn ${}R$ nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form ${}w_{n}Rw_{n+1}$ gegeben. Wir belegen ${}w_{n}\vDash p$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}v\vDash \neg p$ für alle anderen Welten. Dann gilt

$w_{0}\vDash \Diamond p\wedge \neg \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p),$

da außerhalb der Kette stets ${}\neg p$ gilt und innerhalb der Kette stets ${}\Diamond p$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage