Modul/Exakter Komplex und injektive Auflösung/Homotopie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien

$\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}$

und legen

$\Theta _{-1}\colon L_{0}\longrightarrow M=I_{-1}$

als die Nullabbildung fest (${}M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich ${}\Theta _{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

vor, und es gilt

${}\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.$

Wir betrachten den Homomorphismus ${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ von ${}L_{n}$ nach ${}I_{n}$. Für ${}x\in L_{n-1}$ gilt dabei

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}$

da ja die ${}\varphi$ als auch die ${}\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass ${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ das Bild von ${}d_{n}$ auf ${}0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus

$L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow I_{n}.$

Da der Komplex ${}L_{\bullet }$ exakt ist, liegt eine injektive Abbildung

$L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow L_{n+1}$

vor, und da ${}I_{n}$ injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung

$-\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}.$

Dabei gilt

${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}=-\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$

Zur bewiesenen Aussage