Wir betrachten die Menge aller Annullatoren
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Nach Voraussetzung ist diese Menge nicht leer und besteht aus Idealen, die alle vom Einheitsideal verschieden sind. Diese Menge ist
induktiv geordnet,
da jede aufsteigende Kette darin wegen noethersch stationär wird. Nach dem
Lemma von Zorn
besitzt die Menge somit maximale Elemente. Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Es sei also
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maximal und sei , also
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Es sei , also
,
und somit ist zu zeigen. Es ist
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und gehört zu unserer Menge. Wegen der Maximalität von muss also hier Gleichheit vorliegen. Wegen ist damit auch .