Modultheorie/Endlich erzeugt/Ideal in Annullationsideal/Annulliert Element/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M\neq 0$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, das ausschließlich aus Nullteilern von ${}M$ besteht.

Dann gibt es ein ${}v\in M$, ${}v\neq 0$, mit

${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen