Modultheorie/Hauptidealbereiche/Sockel ist RmodRp-Vektorraum/Fakt/Beweis

Beweis

${}M^{1}(p)$ besteht aus allen Elementen, die sich durch ${}p$ annullieren lassen. Das bedeutet, dass das Ideal ${}(p)=Rp$ genau wie ${}0$ auf ${}M^{1}(p)$ agiert. Aufgrund der Distributivität der skalaren Multiplikation hat das notwendig zur Folge, dass auch alle anderen Ringelemente „modulo ${}Rp$ “ agieren. Deshalb ist ${}M^{1}(p)$ ein Modul über ${}R/Rp$. ${}R/Rp$ ist nach Fakt ein Körper und ein Modul über einem Körper ist ein Vektorraum.

Zur bewiesenen Aussage