Modultheorie/Hauptidealbereiche/endliche torsionsfreie Moduln sind frei/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für gibt es nur den Nullmodul, der trivialerweise frei ist.

Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei torsionsfrei.

Sind die Erzeuger linear unabhängig, so handelt es sich um eine Basis und wir sind fertig.

Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation , wobei o.B.d.A. ist. Es sei ein beliebiges Element mit einer Darstellung . Dann gilt

liegt daher im von erzeugten Untermodul . Weil torsionsfrei ist, ist isomorph zu und hat als Untermodul von nach Fakt ein Erzeugendensystem aus Erzeugern. Daher ist nach Induktionsvoraussetzung frei.