Wir führen Induktion über die Anzahl der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für gibt es nur den
Nullmodul, der trivialerweise frei ist.
Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei torsionsfrei.
Sind die Erzeuger
linear unabhängig, so handelt es sich um eine
Basis und wir sind fertig.
Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation , wobei o.B.d.A. ist.
Es sei ein beliebiges Element mit einer Darstellung . Dann gilt
liegt daher im von erzeugten
Untermodul . Weil torsionsfrei ist, ist isomorph zu und hat als Untermodul von nach Fakt ein Erzeugendensystem aus Erzeugern. Daher ist nach Induktionsvoraussetzung frei.