Modultheorie/Restklassenmodul modulo Primideal/Assoziiertes Primideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left([1]\right)}\,,$

deshalb ist ${}{\mathfrak {p}}$ ein assoziiertes Primideal. Für ein beliebiges von ${}0$ verschiedenes Element ${}[g]\in R/{\mathfrak {p}}$ ist ${}g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ebenfalls

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left([g]\right)}\,,$

da die Inklusion ${}\subseteq$ trivial ist und da

${}f[g]=0\,$

in ${}R/{\mathfrak {p}}$ bedeutet, dass ${}fg\in {\mathfrak {p}}$ ist, woraus wegen der Primeigenschaft ${}f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Somit gilt die Eigenschaft auch für jeden Untermodul.

Zur bewiesenen Aussage