Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}m$ eine Einheit in ${}M$ ist, so gibt es ein ${}n\in M$ mit ${}m+n=0$. Dann ist

${}T^{m}\cdot T^{n}=T^{m+n}=T^{0}=1\,$

und somit ist ${}T^{m}$ eine Einheit im Monoidring.

Wenn ${}T^{m}$ eine Einheit im Monoidring ist, so gibt es eine Element

${}P=\sum _{n\in E}a_{n}T^{n}\,$

mit endlichem Träger ${}E\subseteq M$ und mit von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a_{n}\in K$ derart, dass

${}T^{m}{\left(\sum _{n\in E}a_{n}T^{n}\right)}=\sum _{n\in E}a_{n}T^{m+n}=1\,$

ist. Für die letzte Gleichung müssen alle Exponenten

${}n+m=0\,$

sein und es muss mindestens ein solches ${}n\in M$ geben. Dies bedeutet, dass ${}m\in M$ eine Einheit ist.

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