Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische ${}r\times r$-Matrix mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung

$\varphi \colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)},$

wobei ${}K$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann ${}\det(M)\neq 0$ ist, wenn ${}\varphi$ surjektiv auf eine offene Menge aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}$ abbildet.

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