Monoidring/Dimension zwei/Idempotenz/Lokale Picardgruppe/Beispiel

Wir betrachten das durch die (multiplikativ geschriebenen) Gleichungen

gegebene kommutative Monoid. Es ist nicht kürzbar und auch nicht torsionsfrei, da

aber

ist. Die kombinatorischen Primideale sind

die kombinatorische Dimension ist und das punktierte Spektrum wird von und überdeckt mit dem Durchschnitt

Wir bestimmen den Picard-Cech-Komplex für die Einheiten zu dieser Überdeckung. Es ist

da zunächst aus sofort folgt, wenn eine Einheit ist. Damit ist und man kann eliminieren und aus ergibt sich die angegebene Gleichung. Entsprechend ist

Diese Monoide sind positiv, verfügen also außer der über keine Einheiten (obwohl es Nenneraufnahmen sind). Ferner ist

Daher ist eine Einheit in und der Picard-Cech-Komplex ist (additiv geschrieben)

Das bedeutet, dass eine nichttriviale Kohomologieklasse in definiert. Insbesondere gibt es nichttriviale Geradenbündel über dem punktierten kombinatorischen Spektrum.

Dagegen ist für einen beliebigen Körper die lokale Picardgruppe des Monoidringes trivial, da diese Ringe nulldimensional sind. Für einen -wertigen Punkt besitzt nämlich (und ebenso ) die möglichen Werte und die möglichen Werte (die Punkte sind ). Die endlich erzeugte -Algebra besitzt also nur endlich viele Punkte und ist somit nulldimensional.