Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M,N$ kommutative Monoide. Zu einem Monoidhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ werde der zugehörige ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R[M]\longrightarrow R[N]$

im Sinne von Fakt mit ${}R[\varphi ]$ bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Zur Identität ${}\operatorname {Id} _{M}$ ist auch ${}R[\operatorname {Id} _{M}]$ die Identität.
2. Für eine Hintereinanderschaltung von Monoidhomomorphismen ist

   ${}R[\varphi \circ \psi ]=R[\varphi ]\circ R[\psi ]\,.$

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