Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und sei ${}f\in M$. Wir betrachten die Menge

${}M_{f}={\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}}/\sim \,,$

wobei die Relation

${}m-nf\sim m'-n'f\,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass

${}m+n'f+kf=m'+nf+kf\,$

in ${}M$ gilt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Definiere auf ${}M_{f}$ eine Monoidstruktur.
3. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}T^{f}\in R[M]$ das Monom zu ${}f$ im Monoidring. Zeige

   ${}R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.$

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