Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt

Ein normales torisches positives Monoid besitzt die Form

${}M=C\cap \Gamma \,$

mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} M$. Es sei ${}d$ die Dimension von ${}\Gamma$ und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von ${}C$. Zu jeder Facette ${}F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform

$\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$

deren Kern ${}F_{i}$ enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Linearformen liefern auf dem Monoidring ${}K[M]$ die Bewertungen, die zu den torischen Primidealen der Höhe ${}1$, die den Facetten entsprechen, gehören. Diese Linearformen definieren zusammengenommen einen injektiven Monoidhomomorphismus

$\ell \colon M\longrightarrow \mathbb {N} ^{r},\,m\longmapsto {\left(\ell _{1}(m),\ldots ,\ell _{r}(m)\right)},$

die wiederum einen injektiven Ringhomomorphismus

$\ell \colon K[M]\longrightarrow K[\mathbb {N} ^{r}]=K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$

ergibt. Dieser ist ein direkter Summand, und zwar ist ${}K[M]$ der Ring der nullten Stufe des Polynomrings unter der Graduierung, die zu ${}D:=\mathbb {Z} ^{r}/\Gamma$ gehört (${}D$ ist die Divisorenklassengruppe des Monoidringes). Man hat also insbesondere eine Zerlegung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]=\bigoplus _{d\in D}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{d}\,$

mit

${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{0}=K[M]\,.$

Die Projektion auf die ${}0$-te Komponente nennen wir ${}\pi$.

Über die Abbildung ${}\ell$ erhält man gemäß Fakt aus den zusammengesetzten partiellen Ableitungen ${}\partial ^{\mu }$ (bzw. ${\frac {\partial ^{\mu }}{\mu !}}$) auf dem Polynomring Differentialoperatoren auf ${}K[M]$. Insbesondere erhält man für jedes Monom ${}\nu \in M$ einen „zugehörigen“ kanonischen Differentialoperator ${}E_{\nu }$ durch

${}E_{\nu }:=\pi \circ {\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}\circ \ell \,.$

Die Wirkungsweise von ${}E_{\nu }$ ist (zu $\lambda \in M$, man könnte auch ${}T^{\lambda }$ schreiben)

${}E_{\nu }(\lambda )={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}(\lambda -\nu ){\text{ falls }}\lambda -\nu \in M\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Dies beruht auf

${}{\begin{aligned}E_{\nu }(\lambda )&=\pi {\left({\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}{\left(X^{\ell (\lambda )}\right)}\right)}\\&={\begin{cases}\pi {\left({\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}X^{\ell (\lambda -\nu )}\right)}\\0\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}{(\lambda -\nu )}\\0\,,\end{cases}}\end{aligned}}$

wobei die erste Alternative genau dann gilt, wenn ${}\ell (\lambda )\geq \ell (\nu )$ in jeder Komponente gilt, was zu ${}\lambda -\nu \in M$ äquivalent ist. Die Ordnung des Differentialoperators ${}E_{\nu }$ ist ${}\vert {\ell (\nu )}\vert$. Es ist

${}E_{\nu }(\nu )=1\,.$

Insbesondere gibt es also zu jedem Monom in ${}K[M]$ einen unitären Operator, der dieses Monom auf ${}1$ abbildet. Dies überträgt sich (in Charakteristik ${}0$ unmittelbar) auf beliebige Elemente ${}\neq 0$ eines torischen Monoidringes. Allerdings ist, im Gegensatz zum Polynomring, die Ordnung der zu einem Monom gehörigen unitären Differentialoperatoren komplizierter, nämlich über ${}\ell$, zu bestimmen. Durch ${}\vert {\ell }\vert$ ist eine natürliche positive ${}\mathbb {N}$-Graduierung auf einem Monoidring gegeben.