Monom/R/Höhere partielle Ableitung/Aufgabe

Es sei ${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}$ ein Monom und es sei ${}D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}$ eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, ${}D_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.

1. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}=0\,,$

   falls ${}s_{j}>r_{j}$ für ein ${}j$ ist.

2. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}={\frac {r_{1}!\cdots r_{n}!}{(r_{1}-s_{1})!\cdots (r_{n}-s_{n})!}}X_{1}^{r_{1}-s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}-s_{n}}\,,$

   falls ${}s_{j}\leq r_{j}$ für alle ${}j$ ist.

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