Monom/R/Höhere partielle Ableitung/Nullpunkt/Aufgabe

Es sei ${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}$ ein Monom und es sei ${}D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}$ eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, ${}D_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.

1. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)=0\,,$

   falls ${}s_{j}\neq r_{j}$ für ein ${}j$ ist.

2. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)=r_{1}!\cdots r_{n}!\,.$

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