Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Der Restklassenring

${}K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}=K[M]/(nM_{+})\,$

hat die Elemente aus ${}M\setminus nM_{+}$ als ${}K$-Basis. Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in Fakt bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck ${}{\frac {\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}{n}}$ für ${}n\mapsto \infty$ gegen ${}e_{1}$. Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen.

Zur bewiesenen Aussage