Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abschätzung nach unten folgt daraus, dass die kleinste Zahl in ${}nM_{+}$ genau ${}ne_{1}$ ist, die natürlichen Zahlen ${}0,1,\ldots ,ne_{1}-1$ liegen also außerhalb davon. Dabei liegen die Zahlen ${}\geq \ell$ in ${}M$, sodass von diesen ${}ne_{1}$ Zahlen mindestens ${}ne_{1}-\ell$ zu ${}M$, aber nicht zu ${}nM_{+}$ gehören.

Zur Abschätzung nach oben behaupten wir, dass alle Zahlen ${}\geq (n-1)e_{1}+\ell$ zu ${}nM_{+}$ gehören. Es sei ${}x\geq (n-1)e_{1}+\ell$. Dann ist $x=(n-1)e_{1}+\ell '$ mit $\ell '\geq \ell$ und daher ist ${}\ell '\in M$. Also liegt direkt eine Zerlegung von ${}x$ in ${}n$ Summanden aus ${}M$ vor.

Zur bewiesenen Aussage