Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung kann man nach Bemerkung als die natürliche Abbildung

auffassen, die durch die Inklusion von Monoiden induziert ist. Zur Injektivität seien gegeben und sei angenommen, dass für alle gilt: . Bei folgt sofort , sei also , was nach sich zieht. Da es für ein teilerfremdes Erzeugendensystem gibt, gehören nach Fakt ab einem gewissen alle natürlichen Zahlen zu . Es ist also insbesondere und . Damit ist

Zur Surjektivität. Es sei ein Monoidhomomorphismus gegeben, und wir müssen ihn zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz fortsetzen. Es sei . Zwischen diesen Werten gilt die Beziehung

Wenn eines der ist, so müssen alle sein und die Nullabbildung ist eine Fortsetzung. Wir können also annehmen, dass alle Einheiten sind. Wegen der Teilerfremdheit der gibt es eine Darstellung der Eins, d.h. es gibt ganze Zahlen mit . Wir behaupten, dass durch eine Fortsetzung auf gegeben ist. Dazu müssen wir zeigen, dass der durch (also ) definierte Monoidhomomorphismus mit übereinstimmt, was man nur für die überprüfen muss. Betrachten wir also . Dann ist

da die Faktoren rechts in der vorletzten Zeile alle gleich nach der Vorüberlegung (oberes Display) sind.